Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика
Ответ:
Задание 28.18
Для решения будем использовать правило дифференцирования частного: \( (u/v)' = (u'v - uv') / v^2 \).
а) y = x³ / (2x + 4)
Пусть \( u = x^3 \) и \( v = 2x + 4 \).
Производная \( u' = (x^3)' = 3x^2 \).
Производная \( v' = (2x + 4)' = 2 \).
Подставляем в формулу:
\[ y' = \frac{(3x^2)(2x + 4) - (x^3)(2)}{(2x + 4)^2} \]
\[ y' = \frac{6x^3 + 12x^2 - 2x^3}{(2x + 4)^2} \]
\[ y' = \frac{4x^3 + 12x^2}{(2x + 4)^2} \]
Можно вынести общий множитель \( 4x^2 \) в числителе и \( 2 \) в знаменателе:
\[ y' = \frac{4x^2(x + 3)}{4(x + 2)^2} = \frac{x^2(x + 3)}{(x + 2)^2} \]
Ответ: \( y' = \frac{4x^3 + 12x^2}{(2x + 4)^2} = \frac{x^2(x + 3)}{(x + 2)^2} \).
б) y = x² / (x² - 1)
Пусть \( u = x^2 \) и \( v = x^2 - 1 \).
Производная \( u' = (x^2)' = 2x \).
Производная \( v' = (x^2 - 1)' = 2x \).
Подставляем в формулу:
\[ y' = \frac{(2x)(x^2 - 1) - (x^2)(2x)}{(x^2 - 1)^2} \]
\[ y' = \frac{2x^3 - 2x - 2x^3}{(x^2 - 1)^2} \]
\[ y' = \frac{-2x}{(x^2 - 1)^2} \]
Ответ: \( y' = \frac{-2x}{(x^2 - 1)^2} \).
в) y = x² / (3 - 4x)
Пусть \( u = x^2 \) и \( v = 3 - 4x \).
Производная \( u' = (x^2)' = 2x \).
Производная \( v' = (3 - 4x)' = -4 \).
Подставляем в формулу:
\[ y' = \frac{(2x)(3 - 4x) - (x^2)(-4)}{(3 - 4x)^2} \]
\[ y' = \frac{6x - 8x^2 + 4x^2}{(3 - 4x)^2} \]
\[ y' = \frac{6x - 4x^2}{(3 - 4x)^2} \]
Ответ: \( y' = \frac{6x - 4x^2}{(3 - 4x)^2} \).
г) y = x / (x² + 1)
Пусть \( u = x \) и \( v = x^2 + 1 \).
Производная \( u' = (x)' = 1 \).
Производная \( v' = (x^2 + 1)' = 2x \).
Подставляем в формулу:
\[ y' = \frac{(1)(x^2 + 1) - (x)(2x)}{(x^2 + 1)^2} \]
\[ y' = \frac{x^2 + 1 - 2x^2}{(x^2 + 1)^2} \]
\[ y' = \frac{1 - x^2}{(x^2 + 1)^2} \]
Ответ: \( y' = \frac{1 - x^2}{(x^2 + 1)^2} \).
