281. Сумма гипотенузы CE и катета CD прямоугольного треугольника CDE равна 31 см, а их разность равна 3 см. Найдите расстояние от вершины C до прямой DE.

Обозначим гипотенузу \(CE\) через \(x\), а катет \(CD\) — через \(y\). Тогда \(x+y=31\), \(x-y=3\).

Складывая уравнения, получаем:

\[2x=34,\qquad x=17\text{ см}.\]

Тогда \(y=31-17=14\) см.

Поскольку \(CE\) — гипотенуза, угол \(D\) прямой, а расстояние от точки \(C\) до прямой \(DE\) равно высоте \(CH\), проведённой к гипотенузе. По формуле высоты к гипотенузе:

\[CH=\frac{CD\cdot DE}{CE}.\]

Найдём второй катет:

\[DE=\sqrt{CE^2-CD^2}=\sqrt{17^2-14^2}=\sqrt{289-196}=\sqrt{93}.\]

Следовательно,

\[CH=\frac{14\sqrt{93}}{17}\text{ см}.\]

Ответ: \(\frac{14\sqrt{93}}{17}\) см.