282. Докажите, что в равнобедренном треугольнике середина основания равноудалена от боковых сторон.

Пусть \(ABC\) — равнобедренный треугольник, \(AB=AC\), а точка \(M\) — середина основания \(BC\). Проведём из точки \(M\) перпендикуляры \(MH\perp AB\) и \(MK\perp AC\).

Рассмотрим прямоугольные треугольники \(ABM\) и \(ACM\). В них \(AB=AC\) по условию, \(BM=CM\), так как \(M\) — середина основания, а сторона \(AM\) общая. Следовательно, треугольники равны по трём сторонам.

Отсюда соответствующие высоты к сторонам \(AB\) и \(AC\) равны: \(MH=MK\). Значит, точка \(M\) равноудалена от боковых сторон треугольника.

Что и требовалось доказать.