288. Докажите тождество: a⁻⁸ − b⁻⁸ = (a⁻¹ − b⁻¹)(a⁻¹ + b⁻¹)(a⁻² + b⁻²)(a⁻⁴ + b⁻⁴).

Question

Вопрос:

Фото задания

288. Докажите тождество: a⁻⁸ − b⁻⁸ = (a⁻¹ − b⁻¹)(a⁻¹ + b⁻¹)(a⁻² + b⁻²)(a⁻⁴ + b⁻⁴).

Accepted Answer

Последовательно применим формулу разности квадратов:

\(a^{-8}-b^{-8}=(a^{-4}-b^{-4})(a^{-4}+b^{-4})\).

\(a^{-4}-b^{-4}=(a^{-2}-b^{-2})(a^{-2}+b^{-2})\), поэтому

\(a^{-8}-b^{-8}=(a^{-2}-b^{-2})(a^{-2}+b^{-2})(a^{-4}+b^{-4})\).

Наконец, \(a^{-2}-b^{-2}=(a^{-1}-b^{-1})(a^{-1}+b^{-1})\). Подстановка даёт правую часть тождества, следовательно, оно доказано (при \(a\ne0\), \(b\ne0\)).

288. Докажите тождество: a⁻⁸ − b⁻⁸ = (a⁻¹ − b⁻¹)(a⁻¹ + b⁻¹)(a⁻² + b⁻²)(a⁻⁴ + b⁻⁴).

Ответ: