289. Упростите выражение: 1) (a⁻⁴ + 3)(a⁻⁴ − 3) − (a⁻⁴ + 2)²; 2) (m⁻² − n⁻²)/(m⁻¹ + n⁻¹); 3) (2x⁻² + y⁻²)/(3x⁻² − 3x⁻¹y⁻¹) − x⁻¹/(x⁻¹ − y⁻¹); 4) (a⁻⁵ + b⁻⁵)/a⁻⁶ : (a⁻³b⁻⁵ + a⁻⁸)/a⁻⁴.

Question

Вопрос:

Accepted Answer

Положим \(u=a^{-4}\). Тогда \((u+3)(u-3)-(u+2)^2=u^2-9-(u^2+4u+4)=-4u-13\). Ответ: \(-4a^{-4}-13\).
Используем разность квадратов: \(m^{-2}-n^{-2}=(m^{-1}-n^{-1})(m^{-1}+n^{-1})\). После сокращения получаем \(m^{-1}-n^{-1}\).
Приведём слагаемые к общему виду: \(\frac{2x^{-2}+y^{-2}}{3x^{-2}-3x^{-1}y^{-1}}=\frac{x^2+2y^2}{3xy(y-x)}\), а \(\frac{x^{-1}}{x^{-1}-y^{-1}}=\frac{y}{y-x}\). Тогда \(\frac{x^2+2y^2-3y^2}{3xy(y-x)}=\frac{x^2-y^2}{3xy(y-x)}=\frac{x+y}{3xy}\).
Преобразуем каждую дробь: \(\frac{a^{-5}+b^{-5}}{a^{-6}}=\frac{a(a^5+b^5)}{b^5}\), \(\frac{a^{-3}b^{-5}+a^{-8}}{a^{-4}}=\frac{a^5+b^5}{a^4b^5}\). Их частное равно \(\frac{a(a^5+b^5)}{b^5}\cdot\frac{a^4b^5}{a^5+b^5}=a^5\).

В выражениях с отрицательными степенями предполагаются ненулевые основания и ненулевые знаменатели.

Ответ: