29. Биссектрисы углов А и В при боковой стороне АВ трапеции ABCD пересекаются в точке F. Найдите АВ, если AF=12, BF=9.

Решение:

Так как AF и BF — биссектрисы углов A и B трапеции ABCD, а AB — боковая сторона, то треугольник ABF является прямоугольным. Это следует из того, что сумма углов трапеции, прилежащих к одной боковой стороне, равна 180°. Следовательно, сумма углов при вершинах A и B равна 180°. Половина этой суммы (половины углов, которые образуют биссектрисы) равна 90°.

В прямоугольном треугольнике ABF, AB является гипотенузой, а AF и BF — катетами.

По теореме Пифагора:

\( AB^2 = AF^2 + BF^2 \)

\( AB^2 = 12^2 + 9^2 \)

\( AB^2 = 144 + 81 \)

\( AB^2 = 225 \)

\( AB = \sqrt{225} \)

\( AB = 15 \)

Ответ: 15