31. Основания трапеции равны 6 и 30, одна из боковых сторон равна 21√3, а угол между ней и одним из оснований равен 120°. Найдите площадь трапеции.

Решение:

Пусть основания трапеции равны \( a = 6 \) и \( b = 30 \). Боковая сторона \( c = 21\sqrt{3} \). Угол между боковой стороной и основанием равен \( \alpha = 120^{\circ} \).

Площадь трапеции вычисляется по формуле: \( S = \frac{a+b}{2} \cdot h \), где \( h \) — высота трапеции.

Опустим высоту из вершины тупого угла на большее основание. Эта высота образует прямоугольный треугольник с боковой стороной \( c \) и углом \( 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ} \) между ними.

Высота \( h \) находится как \( h = c \cdot \sin(60^{\circ}) \).

\( h = 21\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \)

\( h = 21 \cdot \frac{3}{2} \)

\( h = \frac{63}{2} \)

Теперь найдем площадь трапеции:

\( S = \frac{6+30}{2} \cdot \frac{63}{2} \)

\( S = \frac{36}{2} \cdot \frac{63}{2} \)

\( S = 18 \cdot \frac{63}{2} \)

\( S = 9 \cdot 63 \)

\( S = 567 \)

Ответ: 567