29.) В треугольнике ABC точка D лежит на стороне BC, причём AD = DC. Сумма внешних углов при вершине A равна 160°. Найдите угол C, если AD — биссектриса угла BAC.

Два внешних угла при вершине A равны и каждый смежен с внутренним углом A. Поэтому \(2(180°-\angle A)=160°\), откуда \(\angle A=100°\). Но тогда внутренний угол треугольника больше 90°, и условие противоречит равенству \(AD=DC\): поскольку AD — биссектриса, \(\angle DAC=50°\), а из \(AD=DC\) следует \(\angle DAC=\angle ACD=\angle C\), то есть \(\angle C=50°\). Тогда в треугольнике ACD уже сумма углов \(50°+50°\), что даёт \(\angle ADC=80°\), а это возможно; однако D лежит на BC и угол ADC должен быть внешним к ABD. Получаем для исходного треугольника \(\angle B=30°\), и противоречия нет.

Так как \(AD=DC\), треугольник ADC равнобедренный, следовательно, \(\angle DAC=\angle ACD\). Биссектриса даёт \(\angle DAC=\frac{1}{2}\angle A\). Из суммы двух внешних углов при A получаем \(\angle A=100°\), значит, \(\angle C=50°\).

Ответ: 50°.