296. Вычислить: 1) (log₂ 24 − ½ log₂ 72)/(log₃ 18 − ⅓ log₃ 72); 2) (log₇ 14 − ⅓ log₇ 56)/(log₆ 30 − ½ log₆ 150); 3) (log₂ 4 + log₂ √10)/(log₂ 20 + 3 log₂ 2); 4) (3 log₇ 2 − ½ log₇ 64)/(4 log₅ 2 + ⅓ log₅ 27).

Question

Вопрос:

Accepted Answer

Числитель: \(\log_2 24-\frac12\log_2 72=\log_2\frac{24}{\sqrt{72}}=\log_2(2\sqrt2)=\frac32.\) Знаменатель: \(\log_3 18-\frac13\log_3 72=\log_3\frac{18}{\sqrt[3]{72}}=\log_3(3^{4/3})=\frac43.\) Поэтому значение дроби равно \(\frac{3/2}{4/3}=\frac98.\)
Числитель: \(\log_7 14-\frac13\log_7 56=\log_7\frac{14}{\sqrt[3]{56}}=\log_7(7^{2/3})=\frac23.\) Знаменатель: \(\log_6 30-\frac12\log_6 150=\log_6\frac{30}{\sqrt{150}}=\log_6\sqrt6=\frac12.\) Поэтому значение дроби равно \(\frac{2/3}{1/2}=\frac43.\)
\(\log_2 4+\log_2\sqrt{10}=\log_2(4\sqrt{10})=\log_2\sqrt{160}=\frac12\log_2 160.\) Знаменатель \(\log_2 20+3\log_2 2=\log_2(20\cdot8)=\log_2 160.\) Значение дроби: \(\frac12.\)
Числитель равен \(3\log_7 2-\frac12\log_7 64=3\log_7 2-3\log_7 2=0.\) Знаменатель равен \(4\log_5 2+\frac13\log_5 27=\log_5 16+\log_5 3=\log_5 48\ne0.\) Значение дроби равно \(0.\)

Ответ: 1) \(\frac98\); 2) \(\frac43\); 3) \(\frac12\); 4) 0.