3) 1/4x² = √x

Решение:

Для решения уравнения \( \frac{1}{4}x^2 = \sqrt{x} \), необходимо учесть, что \( x \) должен быть неотрицательным \( (x \ge 0) \), так как он находится под знаком квадратного корня.

1. Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня: \( (\frac{1}{4}x^2)^2 = (\sqrt{x})^2 \)
2. \( \frac{1}{16}x^4 = x \)
3. Перенесем все члены в одну сторону: \( \frac{1}{16}x^4 - x = 0 \)
4. Вынесем \( x \) за скобки: \( x(\frac{1}{16}x^3 - 1) = 0 \)
5. Из этого уравнения получаем два возможных случая:
• Случай 1: \( x = 0 \). Это решение удовлетворяет условию \( x \ge 0 \).
• Случай 2: \( \frac{1}{16}x^3 - 1 = 0 \).
• \( \frac{1}{16}x^3 = 1 \)
• \( x^3 = 16 \)
• \( x = \sqrt[3]{16} \)
• \( x = \sqrt[3]{8 \cdot 2} \)
• \( x = 2\sqrt[3]{2} \)

Оба полученных значения \( x=0 \) и \( x=2\sqrt[3]{2} \) неотрицательны, следовательно, являются решениями исходного уравнения.

Ответ: \( x=0 \), \( x=2\sqrt[3]{2} \)