3) 4x² = √x

Решение:

Для решения уравнения \( 4x^2 = \sqrt{x} \) необходимо учесть, что \( x \) должен быть неотрицательным \( (x \ge 0) \), так как он находится под знаком квадратного корня.

1. Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня: \( (4x^2)^2 = (\sqrt{x})^2 \)
2. \( 16x^4 = x \)
3. Перенесем все члены в одну сторону: \( 16x^4 - x = 0 \)
4. Вынесем \( x \) за скобки: \( x(16x^3 - 1) = 0 \)
5. Из этого уравнения получаем два возможных случая:
• Случай 1: \( x = 0 \). Это решение удовлетворяет условию \( x \ge 0 \).
• Случай 2: \( 16x^3 - 1 = 0 \).
• \( 16x^3 = 1 \)
• \( x^3 = \frac{1}{16} \)
• \( x = \sqrt[3]{\frac{1}{16}} \)
• \( x = \frac{1}{\sqrt[3]{16}} \)
• \( x = \frac{1}{2\sqrt[3]{2}} \)
• Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на \( \sqrt[3]{2^2} = \sqrt[3]{4} \):
• \( x = \frac{\sqrt[3]{4}}{2\sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{4}} = \frac{\sqrt[3]{4}}{2\sqrt[3]{8}} = \frac{\sqrt[3]{4}}{2 \cdot 2} = \frac{\sqrt[3]{4}}{4} \)

Оба полученных значения \( x=0 \) и \( x=\frac{\sqrt[3]{4}}{4} \) неотрицательны, следовательно, являются решениями исходного уравнения.

Ответ: \( x=0 \), \( x=\frac{\sqrt[3]{4}}{4} \)