3. (17 баллов) Найдите натуральные числа a, b, c, такие что a² + b − c = 100 и b² + a − c = 128. В ответе запишите число c.

Вычтем первое равенство из второго, чтобы исключить \(c\):

\[b^2-a^2+a-b=28,\qquad (b-a)(a+b-1)=28.\]

Так как правая часть положительна, получаем \(b>a\). Обозначим \(d=b-a\), тогда \(a+b=1+\frac{28}{d}\). Проверка положительных делителей 28 с учётом целочисленности \(a\) и \(b\) даёт подходящую пару \(d=1\), \(a+b=29\), откуда \(a=14\), \(b=15\). Подставляем в первое уравнение:

\[196+15-c=100,\qquad c=111.\]

Проверка: \(225+14-111=128\).

Ответ: 111.