4. (15 баллов) В стакан налили m₁ = 250 г горячего кофе температурой t₁ = 85°C. Затем добавили m₂ = 40 г молока температурой t₂ = 8°C. После этого положили шарик мороженого массой m = 120 г, имеющего температуру t₀ = −5°C. Мороженое полностью растаяло. Найдите установившуюся температуру смеси T. Теплообменом с окружающей средой и теплоёмкостью стакана пренебречь. Удельная теплоёмкость кофе и молока c = 4200 Дж/(кг · °C), удельная теплоёмкость мороженого cₘ = 2100 Дж/(кг · °C), удельная теплота плавления мороженого λ = 330 кДж/кг.

Сначала найдём тепло, которое отдают кофе и молоко при охлаждении до \(0^\circ\mathrm C\):

\[Q_{\text{кофе и молоко}}=4200(0.250\cdot85+0.040\cdot8)=90594\text{ Дж}.\]

Мороженое сначала нагревается до температуры плавления, затем плавится:

\[Q_{\text{нагрев}}=0.120\cdot2100\cdot5=1260\text{ Дж},\qquad Q_{\text{плавление}}=0.120\cdot330000=39600\text{ Дж}.\]

После таяния вся смесь массой \(0.250+0.040+0.120=0.410\) кг нагревается от \(0^\circ\mathrm C\) до \(T\). По закону сохранения энергии:

\[90594=1260+39600+0.410\cdot4200\cdot T.\]

\[T=\frac{90594-1260-39600}{1722}\approx28.9^\circ\mathrm C.\]

Ответ: установившаяся температура смеси — примерно \(28.9^\circ\mathrm C\).