3.19. Пусть a, b — прямые, α, β — плоскости, причем прямые не лежат в этих плоскостях. Рассмотрим следующие утверждения: a ∥ α, b ∥ β, a ∥ b, α ∥ β. Из каких трех утверждений следует четвертое?

Обозначения α ∥ β и a ∥ b понимаются как параллельность различных плоскостей и прямых. Из четырёх утверждений следуют такие выводы:

• Если a ∥ b, a ∥ α и α ∥ β, то b ∥ β: направление b параллельно α, а значит, и β; поскольку b не лежит в β, она не пересекает эту плоскость.
• Если a ∥ b, b ∥ β и α ∥ β, то a ∥ α — аналогично.

Другие тройки не гарантируют четвёртое утверждение. Например, две прямые, параллельные соответственно двум непараллельным плоскостям, могут быть параллельны друг другу; а две прямые, параллельные одной плоскости, не обязаны быть параллельными между собой.

Ответ: четвёртое утверждение следует в двух случаях: из a ∥ b, a ∥ α, α ∥ β следует b ∥ β; из a ∥ b, b ∥ β, α ∥ β следует a ∥ α.