3.23. Три параллельные плоскости пересекаются двумя прямыми. Докажите, что отрезки прямых между плоскостями пропорциональны. Верно ли обратное утверждение?

Пусть параллельные плоскости α, β, γ пересекают две прямые в точках A, B, C и A′, B′, C′ соответственно, в одинаковом порядке.

Плоскость, содержащая эти две прямые, пересекает α, β, γ по трём параллельным прямым. По теореме Фалеса отрезки, отсекаемые ими на двух секущих, пропорциональны:

AB/A′B′ = BC/B′C′.

Следовательно, отрезки между соседними плоскостями пропорциональны.

Обратное утверждение в общем случае неверно: пропорциональность отрезков на двух прямых сама по себе не гарантирует, что три плоскости параллельны. Например, возьмём две пересекающиеся прямые с общей точкой O и точки A, B на первой и A′, B′ на второй так, чтобы OA = OA′ и OB = OB′. Тогда AB = A′B′, поэтому отрезки между точками пропорциональны (отношение равно 1). Плоскости, проведённые через A и A′, через B и B′ и через O, однако, проходят через общую точку O и не являются параллельными.

Ответ: отрезки пропорциональны; обратное утверждение неверно.