3.21. Точки A, B, C, D не лежат в одной плоскости. Докажите, что середины отрезков AB, BC, CD и DA служат вершинами параллелограмма.

Обозначим середины AB, BC, CD и DA через M, N, P и Q соответственно.

В треугольнике ABC отрезок MN — средняя линия, поэтому MN ∥ AC и MN = AC/2. В треугольнике ADC отрезок QP также средняя линия, поэтому QP ∥ AC и QP = AC/2. Следовательно, MN ∥ QP и MN = QP.

Четырёхугольник MNPQ имеет противоположные стороны MN и QP, равные и параллельные. Значит, MNPQ — параллелограмм.