3.26. Упростите выражение: 1) (x − 4)·√(x² − 8x + 16) при x > 4; при x < 4. 2) (x + 1)·1/√(x² + 2x + 1) при x > −1; при x < −1.

Question

Вопрос:

Accepted Answer

Подкоренное выражение — полный квадрат: x² − 8x + 16 = (x − 4)². Поэтому √((x − 4)²) = |x − 4|.
При x > 4: |x − 4| = x − 4, значит (x − 4)(x − 4) = (x − 4)².
При x < 4: |x − 4| = 4 − x, значит (x − 4)(4 − x) = −(x − 4)².
Знаменатель равен √((x + 1)²) = |x + 1|; следовательно, выражение равно (x + 1)/|x + 1|.
При x > −1 это значение равно 1; при x < −1 — −1.

Ответ: 1) при x > 4: (x − 4)²; при x < 4: −(x − 4)². 2) при x > −1: 1; при x < −1: −1.