3. (3 балла) Диагонали ромба MNKP пересекаются в точке O. Угол MNP равен 120°, а сторона MN равна 5 см. Найдите периметр ромба, углы треугольника MON и длину диагонали MK.

Все стороны ромба равны, поэтому его периметр: \(P=4\cdot5=20\) см.

Соседние углы ромба в сумме равны 180°, значит угол при M равен \(180^\circ-120^\circ=60^\circ\). Диагонали ромба перпендикулярны и делят углы пополам. Поэтому в треугольнике MON: \(\angle MON=90^\circ\), \(\angle OMN=30^\circ\), \(\angle MNO=60^\circ\).

Диагональ MK делит угол M пополам. В треугольнике MNK две стороны MN и NK равны 5 см, а угол MNK равен 120°. По теореме косинусов:

\(MK^2=5^2+5^2-2\cdot5\cdot5\cos120^\circ=75\), поэтому \(MK=5\sqrt{3}\) см.

Ответ: периметр ромба — 20 см; углы MON — 30°, 60° и 90° (при M, N и O соответственно); MK = \(5\sqrt{3}\) см.