5. (3 балла) В трапеции ABCD (AD ∥ BC) угол A равен 45°, угол D равен 90°, AD=10 см, BC=4 см. Найдите боковую сторону AB и площадь трапеции.

Так как угол D равен 90°, высота трапеции равна DC. Разность оснований составляет \(AD-BC=10-4=6\) см. Горизонтальная проекция боковой стороны AB равна этой разности.

Угол A равен 45°, поэтому в прямоугольном треугольнике с гипотенузой AB горизонтальный катет равен высоте. Следовательно, высота также равна 6 см, а \(AB=\frac{6}{\cos45^\circ}=6\sqrt{2}\) см.

Площадь трапеции: \(S=\frac{AD+BC}{2}\cdot h=\frac{10+4}{2}\cdot6=42\) см².

Ответ: AB = \(6\sqrt{2}\) см; площадь — 42 см².