4. (4 балла) Докажите, что если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм является прямоугольником.

Пусть в параллелограмме ABCD диагонали AC и BD равны. Рассмотрим треугольники ABC и BAD.

1. AB — общая сторона.
2. BC=AD, так как противоположные стороны параллелограмма равны.
3. AC=BD по условию.

Следовательно, треугольники ABC и BAD равны по трём сторонам. Поэтому соответствующие углы ABC и BAD равны. Соседние углы параллелограмма в сумме составляют 180°, значит равные углы ABC и BAD каждый равен 90°. Параллелограмм с прямым углом является прямоугольником.

Что и требовалось доказать.