3. (3 балла) Решите неравенство: 1) \( 27^x \ge \(\frac{1}{3}\)^{x+2} \; 2) (6 - x)(x + 1) > 0; 3) \(\log\)_{0,2} (x - 1) > \(\log\)_{0,2} 4.

Решение:

1. \( 27^x \ge (\frac{1}{3})^{x+2} \)
   \( (3^3)^x \ge (3^{-1})^{x+2} \)
   \( 3^{3x} \ge 3^{-x-2} \)
   Так как основание степени \( 3 > 1 \), то показатели степеней сравниваем в том же направлении: \( 3x \ge -x - 2 \)
   \( 4x \ge -2 \)
   \( x \ge -0.5 \).
2. \( (6 - x)(x + 1) > 0 \)
   Решим методом интервалов. Корни уравнения \( (6 - x)(x + 1) = 0 \) равны \( x = 6 \) и \( x = -1 \).
   Расставим знаки на интервалах:
   При \( x < -1 \), например \( x = -2 \): \( (6 - (-2))(-2 + 1) = 8 \cdot (-1) = -8 < 0 \)
   При \( -1 < x < 6 \), например \( x = 0 \): \( (6 - 0)(0 + 1) = 6 \cdot 1 = 6 > 0 \)
   При \( x > 6 \), например \( x = 7 \): \( (6 - 7)(7 + 1) = (-1) \cdot 8 = -8 < 0 \)
   Неравенство \( > 0 \) выполняется на интервале \( (-1; 6) \).
3. \( \log_{0,2} (x - 1) > \log_{0,2} 4 \)
   Так как основание логарифма \( 0.2 < 1 \), то при снятии логарифма знак неравенства меняется:
   \( x - 1 < 4 \)
   \( x < 5 \).
   Кроме того, аргумент логарифма должен быть положителен: \( x - 1 > 0 \), то есть \( x > 1 \).
   Объединяя условия, получаем \( 1 < x < 5 \).

Ответ: 1) \( x \ge -0.5 \); 2) \( (-1; 6) \); 3) \( (1; 5) \).