3.35. Боковые ребра пирамиды равны между собой. Докажите, что высота пирамиды проходит через центр окружности, описанной вокруг основания пирамиды.

Доказательство:

Пусть дана пирамида PABC... с вершиной P и основанием ABC.... Боковые ребра PA = PB = PC = ...

Рассмотрим треугольники PAB, PBC, PCA. Они равны по трем сторонам (PA=PB, AB=BC, PB=PC и т.д.). Это значит, что углы наклона боковых ребер к основанию равны.

Высота пирамиды PO (где O — точка в основании) перпендикулярна плоскости основания.

Рассмотрим прямоугольные треугольники POA, POB, POC. Они имеют общий катет PO. По условию, боковые ребра PA = PB = PC. По теореме Пифагора, OA^2 = PA^2 - PO^2, OB^2 = PB^2 - PO^2, OC^2 = PC^2 - PO^2.

Так как PA = PB = PC, то и OA = OB = OC. Это означает, что точка O равноудалена от вершин основания ABC.... Следовательно, O является центром окружности, описанной около основания.

Вывод: Высота пирамиды проходит через центр описанной окружности основания.