3.40. Точка О — центр симметрии параллелограмма ABCD. Точка Р не лежит в плоскости параллелограмма; РА = PC, РВ = PD. Докажите, что отрезок РО перпендикулярен плоскости параллелограмма.

Доказательство:

Дано: Параллелограмм ABCD, O — центр симметрии. Точка P не лежит в плоскости ABCD. PA = PC, PB = PD.

Доказать: PO \( \perp \) плоскости ABCD.

1. Свойства центра симметрии параллелограмма:

• Центр симметрии O является серединой диагоналей AC и BD.
• Таким образом, AO = OC и BO = OD.

2. Рассмотрим треугольник PAC:

• По условию, PA = PC. Следовательно, треугольник PAC — равнобедренный.
• AO = OC (так как O — середина AC).
• OM — медиана, проведенная к основанию AC. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является также высотой.
• Следовательно, PO \( \perp \) AC.

3. Рассмотрим треугольник PBD:

• По условию, PB = PD. Следовательно, треугольник PBD — равнобедренный.
• BO = OD (так как O — середина BD).
• PO — медиана, проведенная к основанию BD. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является также высотой.
• Следовательно, PO \( \perp \) BD.

4. Вывод:

• Прямая PO перпендикулярна двум пересекающимся прямым (AC и BD), лежащим в плоскости параллелограмма ABCD.
• По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая, перпендикулярная двум пересекающимся прямым в плоскости, перпендикулярна самой плоскости.

Следовательно, PO \( \perp \) плоскости ABCD.