3.37. Точка А лежит в плоскости а; ортогональная проекция отрезка АВ на эту плоскость равна 1; отрезок АВ равен 2. Найдите расстояние от точки В до плоскости а.

Решение:

Обозначим плоскость как \( \alpha \).

Пусть \( A \in \alpha \). Ортогональная проекция отрезка \( AB \) на плоскость \( \alpha \) — это отрезок \( AC \), где \( C \) — точка в плоскости \( \alpha \) такая, что \( BC \perp \alpha \).

По условию:

• \( AC = 1 \) (проекция отрезка \( AB \) на плоскость \( \alpha \)).
• \( AB = 2 \) (длина отрезка \( AB \)).
• \( BC \) — искомое расстояние от точки \( B \) до плоскости \( \alpha \).

Треугольник \( ABC \) является прямоугольным, так как \( BC \) — высота, перпендикулярная плоскости \( \alpha \), а значит, и любому отрезку в этой плоскости, исходящему из \( C \) (в частности, \( AC \)).

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника \( ABC \):

\[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \]\[ 2^2 = 1^2 + BC^2 \]\[ 4 = 1 + BC^2 \]\[ BC^2 = 4 - 1 \]\[ BC^2 = 3 \]\[ BC = \sqrt{3} \]

Ответ: \( \sqrt{3} \).