3.36. Апофемы боковых граней пирамиды (высоты боковых граней, проведенные к сторонам, лежащим в основании) равны между собой. Докажите, что высота пирамиды проходит через центр окружности, вписанной в основание пирамиды.

Доказательство:

Пусть дана пирамида PABC... с вершиной P и основанием ABC.... Апофемы боковых граней, проведенные к сторонам основания, равны между собой. Обозначим их как PK, PL, PM..., где K, L, M... — точки на сторонах AB, BC, CA.... PK = PL = PM = ...

Высота пирамиды PO перпендикулярна плоскости основания.

Рассмотрим треугольники POK, POL, POM. Они прямоугольные (угол PKO = POL = POM = 90°), так как PO — высота.

Так как PK = PL = PM и PO — общий катет, то по теореме Пифагора, OK^2 = PK^2 - PO^2, OL^2 = PL^2 - PO^2, OM^2 = PM^2 - PO^2.

Следовательно, OK = OL = OM. Это означает, что точка O равноудалена от сторон основания ABC.... Следовательно, O является центром окружности, вписанной в основание.

Вывод: Высота пирамиды проходит через центр вписанной окружности основания.