3.41. Прямые а и b пересекаются в точке Р. Через эту точку проведены плоскости, перпендикулярные этим прямым. Докажите, что линия пересечения этих плоскостей перпендикулярна плоскости, которая содержит данные прямые.

Доказательство:

Пусть даны две пересекающиеся прямые \( a \) и \( b \), пересекающиеся в точке \( P \).

Пусть \( \alpha \) — плоскость, перпендикулярная прямой \( a \) и проходящая через \( P \) (\( \alpha \perp a \)).

Пусть \( \beta \) — плоскость, перпендикулярная прямой \( b \) и проходящая через \( P \) (\( \beta \perp b \)).

Пусть \( c \) — линия пересечения плоскостей \( \alpha \) и \( \beta \) (\( c = \alpha \cap \beta \)).

Нам нужно доказать, что прямая \( c \) перпендикулярна плоскости \( \gamma \), которая содержит прямые \( a \) и \( b \).

1. По определению линии пересечения плоскостей:

Прямая \( c \) лежит одновременно в плоскости \( \alpha \) и в плоскости \( \beta \).

2. Свойства перпендикулярных плоскостей:

• Так как \( \alpha \perp a \), то прямая \( a \) перпендикулярна любой прямой, лежащей в \( \alpha \).
• Так как \( \beta \perp b \), то прямая \( b \) перпендикулярна любой прямой, лежащей в \( \beta \).

3. Рассмотрим прямую \( c \) и плоскость \( \gamma \) (содержащую \( a \) и \( b \)):

• Прямая \( c \) лежит в плоскости \( \alpha \). Из \( \alpha \perp a \) следует, что \( c \) перпендикулярна \( a \) (так как \( a \) проходит через \( P \) и перпендикулярна \( \alpha \) — это эквивалентно тому, что \( a \) перпендикулярна любой прямой в \( \alpha \)).
• Прямая \( c \) лежит в плоскости \( \beta \). Из \( \beta \perp b \) следует, что \( c \) перпендикулярна \( b \) (аналогично, \( b \) перпендикулярна любой прямой в \( \beta \)).

4. Признак перпендикулярности прямой и плоскости:

• Прямая \( c \) перпендикулярна двум пересекающимся прямым \( a \) и \( b \) в плоскости \( \gamma \) (прямые \( a \) и \( b \) пересекаются в точке \( P \) и лежат в плоскости \( \gamma \)).
• Следовательно, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая \( c \) перпендикулярна плоскости \( \gamma \).

Вывод: Линия пересечения плоскостей, перпендикулярных данным пересекающимся прямым, перпендикулярна плоскости, содержащей эти прямые.