3.4.6. Решить уравнения: 1) 2/(x − 2) − 1/(x + 1) = 3/((x + 1)(x − 2)) + 1; 2) 5/((x + 3)(x − 1)) + 3/(x − 1) = 10/(x + 3) + 2; 3) 3/(4 − x²) − 2/(x + 2) = 6/(2 − x) − 3; 4) 3/(3 + x) + 5/(x − 3) = 10/(x² − 9) + 4.

Question

Вопрос:

Accepted Answer

Перед преобразованиями учитываем ограничения на знаменатели.

x ≠ 2, −1. Умножаем на (x + 1)(x − 2): 2(x + 1) − (x − 2) = 3 + (x + 1)(x − 2). После упрощения x² − 2x − 3 = 0, то есть (x − 3)(x + 1) = 0. Корень −1 исключается; остаётся x = 3.
x ≠ −3, 1. Умножаем на (x + 3)(x − 1): 5 + 3(x + 3) = 10(x − 1) + 2(x + 3)(x − 1). Получаем 2x² + 11x − 30 = 0, откуда x = 2 или x = −15/2. Оба корня допустимы.
x ≠ ±2. Так как 4 − x² = (2 − x)(x + 2), умножаем на (2 − x)(x + 2): 3 − 2(2 − x) = 6(x + 2) − 3(4 − x²). Получаем 3x² + 4x + 1 = 0, то есть (3x + 1)(x + 1) = 0. Оба корня допустимы.
x ≠ ±3. Умножаем на x² − 9: 3(x − 3) + 5(x + 3) = 10 + 4(x² − 9). Получаем x² − 2x − 8 = 0, то есть (x − 4)(x + 2) = 0. Оба корня допустимы.

Ответ: 1) x = 3; 2) x = 2, −15/2; 3) x = −1, −1/3; 4) x = 4, −2.