3. cos²x + 2 sinx + 2 = 0.

Решение:

1. Используем основное тригонометрическое тождество \( \cos^2 x = 1 - \sin^2 x \).
2. Подставим в уравнение: \( (1 - \sin^2 x) + 2 \sin x + 2 = 0 \)
3. Упростим: \( 1 - \sin^2 x + 2 \sin x + 2 = 0 \) \( -\sin^2 x + 2 \sin x + 3 = 0 \)
4. Умножим на -1: \( \sin^2 x - 2 \sin x - 3 = 0 \)
5. Введем замену \( t = \sin x \). Получим квадратное уравнение: \( t^2 - 2t - 3 = 0 \)
6. Решим квадратное уравнение. Дискриминант \( D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16 \). \( \sqrt{D} = 4 \).
7. Корни: \( t_1 = \frac{2 + 4}{2} = 3 \), \( t_2 = \frac{2 - 4}{2} = -1 \).
8. Вернемся к замене: \( \sin x = 3 \) или \( \sin x = -1 \).
9. Уравнение \( \sin x = 3 \) не имеет решений, так как \( -1 \le \sin x \le 1 \).
10. Решим уравнение \( \sin x = -1 \). Основное решение: \( x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).

Ответ: \( x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).