6. Найдите корни уравнения sin 3x + cos 3x = 0, принадлежащие отрезку [0, 6].

Решение:

1. Перенесем \( \cos 3x \) в правую часть: \( \sin 3x = -\cos 3x \).
2. Разделим обе части на \( \cos 3x \) (заметим, что \( \cos 3x \ne 0 \), иначе \( \sin 3x = 0 \), что невозможно одновременно).
3. Получим \( \frac{\sin 3x}{\cos 3x} = -1 \), то есть \( \tan 3x = -1 \).
4. Найдем общее решение уравнения \( \tan y = -1 \): \( y = -\frac{\pi}{4} + \pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).
5. Подставим \( y = 3x \): \( 3x = -\frac{\pi}{4} + \pi k \).
6. Найдем \( x \): \( x = \frac{1}{3} \left( -\frac{\pi}{4} + \pi k \right) = -\frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{3} \), где \( k \in \mathbb{Z} \).
7. Теперь найдем корни, принадлежащие отрезку \( [0, 6] \).
8. Подставим значения \( k \):
• \( k = 0 \): \( x = -\frac{\pi}{12} \) (не принадлежит отрезку).
• \( k = 1 \): \( x = -\frac{\pi}{12} + \frac{\pi}{3} = \frac{-\pi + 4\pi}{12} = \frac{3\pi}{12} = \frac{\pi}{4} \). Приблизительное значение: \( \frac{3.14}{4} \approx 0.785 \) (принадлежит отрезку).
• \( k = 2 \): \( x = -\frac{\pi}{12} + \frac{2\pi}{3} = \frac{-\pi + 8\pi}{12} = \frac{7\pi}{12} \). Приблизительное значение: \( \frac{7 \cdot 3.14}{12} \approx \frac{21.98}{12} \approx 1.83 \) (принадлежит отрезку).
• \( k = 3 \): \( x = -\frac{\pi}{12} + \frac{3\pi}{3} = -\frac{\pi}{12} + \pi = \frac{11\pi}{12} \). Приблизительное значение: \( \frac{11 \cdot 3.14}{12} \approx \frac{34.54}{12} \approx 2.88 \) (принадлежит отрезку).
• \( k = 4 \): \( x = -\frac{\pi}{12} + \frac{4\pi}{3} = \frac{-\pi + 16\pi}{12} = \frac{15\pi}{12} = \frac{5\pi}{4} \). Приблизительное значение: \( \frac{5 \cdot 3.14}{4} \approx \frac{15.7}{4} \approx 3.925 \) (принадлежит отрезку).
• \( k = 5 \): \( x = -\frac{\pi}{12} + \frac{5\pi}{3} = \frac{-\pi + 20\pi}{12} = \frac{19\pi}{12} \). Приблизительное значение: \( \frac{19 \cdot 3.14}{12} \approx \frac{59.66}{12} \approx 4.97 \) (принадлежит отрезку).
• \( k = 6 \): \( x = -\frac{\pi}{12} + \frac{6\pi}{3} = -\frac{\pi}{12} + 2\pi = \frac{-\pi + 24\pi}{12} = \frac{23\pi}{12} \). Приблизительное значение: \( \frac{23 \cdot 3.14}{12} \approx \frac{72.22}{12} \approx 6.018 \) (не принадлежит отрезку, так как немного больше 6).
• \( k = 7 \): \( x = -\frac{\pi}{12} + \frac{7\pi}{3} = \frac{-\pi + 28\pi}{12} = \frac{27\pi}{12} = \frac{9\pi}{4} \) (больше 6).

Ответ: \( \frac{\pi}{4}, \frac{7\pi}{12}, \frac{11\pi}{12}, \frac{5\pi}{4}, \frac{19\pi}{12} \).