5. Решите уравнение 5sin²x + 2sin x cos x - cos² x = 1.

Решение:

1. Представим 1 как \( \sin^2 x + \cos^2 x \).
2. Уравнение примет вид: \( 5\sin^2 x + 2\sin x \cos x - \cos^2 x = \sin^2 x + \cos^2 x \).
3. Перенесем все члены в левую часть: \( 5\sin^2 x - \sin^2 x + 2\sin x \cos x - \cos^2 x - \cos^2 x = 0 \).
4. Упростим: \( 4\sin^2 x + 2\sin x \cos x - 2\cos^2 x = 0 \).
5. Разделим обе части на 2: \( 2\sin^2 x + \sin x \cos x - \cos^2 x = 0 \).
6. Заметим, что \( \cos x \ne 0 \) (если \( \cos x = 0 \), то \( \sin x = \pm 1 \), и уравнение не выполняется: \( 2(1) + 0 - 0 = 0 \) или \( 2(1) + 0 - 0 = 0 \), что неверно).
7. Разделим обе части уравнения на \( \cos^2 x \): \( \frac{2\sin^2 x}{\cos^2 x} + \frac{\sin x \cos x}{\cos^2 x} - \frac{\cos^2 x}{\cos^2 x} = 0 \).
8. Упростим, используя \( \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} \): \( 2\tan^2 x + \tan x - 1 = 0 \).
9. Введем замену \( t = \tan x \). Получим квадратное уравнение: \( 2t^2 + t - 1 = 0 \).
10. Решим квадратное уравнение. Дискриминант \( D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9 \). \( \sqrt{D} = 3 \).
11. Корни: \( t_1 = \frac{-1 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \), \( t_2 = \frac{-1 - 3}{2 \cdot 2} = \frac{-4}{4} = -1 \).
12. Вернемся к замене: \( \tan x = \frac{1}{2} \) или \( \tan x = -1 \).
13. Общие решения: \( x = \arctan \frac{1}{2} + \pi n \) и \( x = \arctan (-1) + \pi k = -\frac{\pi}{4} + \pi k \), где \( n, k \in \mathbb{Z} \).

Ответ: \( x = \arctan \frac{1}{2} + \pi n \) и \( x = -\frac{\pi}{4} + \pi k \), где \( n, k \in \mathbb{Z} \).