4. 6sin² x = 5sin x cos x - cos² x.

Решение уравнения:

1. Перенесем все члены в одну сторону: \( 6 ext{sin}^2 x - 5 ext{sin } x ext{ cos } x + ext{cos}^2 x = 0 \).
2. Данное уравнение является однородным уравнением второй степени. Если \( ext{cos } x = 0 \), то \( 6 ext{sin}^2 x = 0 \), что невозможно, так как \( ext{sin}^2 x + ext{cos}^2 x = 1 \). Значит, \( ext{cos } x e 0 \).
3. Разделим обе части уравнения на \( ext{cos}^2 x \): \( 6rac{ ext{sin}^2 x}{ ext{cos}^2 x} - 5rac{ ext{sin } x ext{ cos } x}{ ext{cos}^2 x} + rac{ ext{cos}^2 x}{ ext{cos}^2 x} = 0 \)
4. Упростим, используя \( ext{tg } x = rac{ ext{sin } x}{ ext{cos } x} \): \( 6 ext{tg}^2 x - 5 ext{tg } x + 1 = 0 \)
5. Сделаем замену \( y = ext{tg } x \): \( 6y^2 - 5y + 1 = 0 \)
6. Решим квадратное уравнение. Дискриминант \( D = (-5)^2 - 4 imes 6 imes 1 = 25 - 24 = 1 \).
7. Корни: \( y_1 = rac{5 - ext{√}1}{2 imes 6} = rac{5 - 1}{12} = rac{4}{12} = rac{1}{3} \) и \( y_2 = rac{5 + ext{√}1}{2 imes 6} = rac{5 + 1}{12} = rac{6}{12} = rac{1}{2} \).
8. Получаем два случая: \( ext{tg } x = rac{1}{3} \) или \( ext{tg } x = rac{1}{2} \).
9. Общее решение: \( x = ext{arctg } rac{1}{3} + ext{πn} \) и \( x = ext{arctg } rac{1}{2} + ext{πn} \), где \( n \) — любое целое число.

Ответ: \( x = ext{arctg } rac{1}{3} + ext{πn} \) или \( x = ext{arctg } rac{1}{2} + ext{πn} \), где \( n \in ext{ℤ} \).