4. 6sin²x = 5sin x cos x - cos² x.

Решение:

1. Перенесем все члены уравнения в левую часть: \( 6\sin^2 x - 5\sin x \cos x + \cos^2 x = 0 \).
2. Заметим, что \( \cos x \ne 0 \) (если \( \cos x = 0 \), то \( \sin x = \pm 1 \), и уравнение не выполняется: \( 6(1) - 0 + 0 = 0 \) или \( 6(1) - 0 + 0 = 0 \), что неверно).
3. Разделим обе части уравнения на \( \cos^2 x \): \( \frac{6\sin^2 x}{\cos^2 x} - \frac{5\sin x \cos x}{\cos^2 x} + \frac{\cos^2 x}{\cos^2 x} = 0 \)
4. Упростим, используя \( \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} \): \( 6\tan^2 x - 5\tan x + 1 = 0 \).
5. Введем замену \( t = \tan x \). Получим квадратное уравнение: \( 6t^2 - 5t + 1 = 0 \).
6. Решим квадратное уравнение. Дискриминант \( D = (-5)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 1 = 25 - 24 = 1 \). \( \sqrt{D} = 1 \).
7. Корни: \( t_1 = \frac{5 + 1}{2 \cdot 6} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2} \), \( t_2 = \frac{5 - 1}{2 \cdot 6} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} \).
8. Вернемся к замене: \( \tan x = \frac{1}{2} \) или \( \tan x = \frac{1}{3} \).
9. Общие решения: \( x = \arctan \frac{1}{2} + \pi n \) и \( x = \arctan \frac{1}{3} + \pi k \), где \( n, k \in \mathbb{Z} \).

Ответ: \( x = \arctan \frac{1}{2} + \pi n \) и \( x = \arctan \frac{1}{3} + \pi k \), где \( n, k \in \mathbb{Z} \).