3. Дано: ABCD — прямоугольник, диагонали пересекаются в O; E лежит на AC, BE ⟂ AC; OE = 4; ∠ACD = 60°. Найти: AC.

В прямоугольном треугольнике ACD угол A равен 30°, так как ∠D = 90° и ∠C = 60°. Обозначим AC = x. Тогда AD = x sin 30° = x/2.

В прямоугольном треугольнике ABE гипотенуза AB = AD = x/2, а ∠BAE = ∠BAC = 30°. Поэтому AE = AB cos 30° = (x/2)(√3/2). Однако по рисунку E — проекция B на AC; используем проекцию катета AB на гипотенузу AC: AE = AB²/AC = (x/2)²/x = x/4.

O — середина диагонали AC, следовательно, AO = x/2. Тогда OE = AO − AE = x/2 − x/4 = x/4. Из OE = 4 получаем x/4 = 4, откуда x = 16.

Ответ: AC = 16.