4. ABCD — прямоугольник; A₁, B₁, C₁, D₁ — середины его сторон. Доказать: A₁B₁C₁D₁ — ромб.

Пусть стороны прямоугольника равны a и b. В треугольнике, образованном двумя соседними вершинами прямоугольника и точкой пересечения его диагоналей, отрезок между серединами двух сторон равен половине третьей стороны. Поэтому каждая сторона четырёхугольника A₁B₁C₁D₁ равна половине диагонали ABCD: \(A_1B_1=B_1C_1=C_1D_1=D_1A_1\). Четырёхугольник с четырьмя равными сторонами — ромб.

Доказано.