3) Дано: ABCDA₁B₁C₁D₁ — куб. Доказать: D₁C ⟂ A₁D.

Это утверждение для куба неверно. Обозначим длину ребра куба через a и зададим координаты: A(0,0,0), B(0,a,0), C(a,a,0), D(a,0,0), A₁(0,0,a), D₁(a,0,a). Направляющие векторы прямых D₁C и A₁D: (0,a,-a) и (a,0,-a). Их скалярное произведение равно a² ≠ 0, поэтому прямые не перпендикулярны.

Вероятно, в условии опечатка или не хватает дополнительного условия; проверьте обозначения на исходной странице.