6) Дано: ABCDA₁B₁C₁D₁ — куб. Доказать: BD₁ ⟂ A₁B₁.

Утверждение для куба неверно. Пусть ребро куба равно a; возьмём B(0,a,0), D₁(a,0,a), A₁(0,0,a), B₁(0,a,a). Направляющие векторы BD₁ и A₁B₁ равны (a,−a,a) и (0,a,0). Их скалярное произведение равно −a² ≠ 0, поэтому прямые не перпендикулярны.

Возможно, в обозначении одной из прямых допущена опечатка. Проверьте исходное условие.