4) Дано: ABCDA₁B₁C₁D₁ — куб. Доказать: B₁D ⟂ D₁C.

Пусть ребро куба равно a. Зададим координаты: A(0,0,0), B(0,a,0), C(a,a,0), D(a,0,0), A₁(0,0,a), B₁(0,a,a), C₁(a,a,a), D₁(a,0,a).

Направляющие векторы прямых B₁D и D₁C равны соответственно (a,-a,-a) и (0,a,-a).

Их скалярное произведение: a·0 + (−a)·a + (−a)·(−a) = 0. Следовательно, прямые перпендикулярны.

Ответ: B₁D ⟂ D₁C.