3) Дано: ABCDA₁B₁C₁D₁ — куб. Доказать: D₁C и A₁D — скрещивающиеся прямые.

Прямые D₁C и A₁D лежат в разных гранях куба. Параллельная им грань куба A₁B₁C₁D₁ пересекает плоскость грани A₁ADD₁ по прямой A₁D, а плоскость грани DCC₁D₁ — по прямой D₁C. У этих граней общая плоскость куба не возникает: линии A₁D и D₁C не пересекаются и не параллельны.

Проверим это по координатам куба с ребром 1: пусть A=(0,0,0), D=(1,0,0), C=(1,1,0), A₁=(0,0,1), D₁=(1,0,1). Направляющие векторы прямых: D₁C=(0,1,-1), A₁D=(1,0,-1). Они не пропорциональны, следовательно, прямые не параллельны. Из параметрических уравнений пересечения также нет: точка прямой D₁C имеет первую координату 1, а точка A₁D имеет вторую координату 0; равенство остальных координат потребовало бы одновременно разных параметров.

Ответ: D₁C и A₁D — скрещивающиеся прямые.