6) Дано: ABCDA₁B₁C₁D₁ — куб. Доказать: BD₁ и A₁B₁ — скрещивающиеся прямые.

Прямая BD₁ лежит в диагональном сечении BDD₁B₁, а A₁B₁ — в верхней грани A₁B₁C₁D₁. Плоскости этих фигур пересекаются по B₁D₁. Прямая BD₁ пересекает B₁D₁ в точке D₁, а A₁B₁ — в точке B₁. Так как B₁ ≠ D₁, прямые не пересекаются.

Они не параллельны: BD₁ — диагональ сечения куба, а A₁B₁ — ребро верхней грани; их направления различны. Следовательно, прямые скрещиваются.

Ответ: BD₁ и A₁B₁ — скрещивающиеся прямые.