4) Дано: ABCDA₁B₁C₁D₁ — куб. Доказать: B₁D и D₁C₁ — скрещивающиеся прямые.

Прямая B₁D лежит в плоскости диагонального сечения B₁BDD₁, а прямая D₁C₁ — в плоскости верхней грани A₁B₁C₁D₁. Эти плоскости пересекаются по B₁D₁. Прямая B₁D пересекает эту линию в B₁, а D₁C₁ — в D₁. Поскольку B₁ ≠ D₁, прямые B₁D и D₁C₁ не пересекаются.

Они не параллельны: B₁D — диагональ куба, а D₁C₁ — ребро верхней грани, их направления различны. Значит, прямые не лежат в одной плоскости.

Ответ: B₁D и D₁C₁ — скрещивающиеся прямые.