3. Даны два равных прямоугольных треугольника АВС и А1В1С1, у которых ∠B = ∠B₁ = 90°, ∠A = ∠A1, BH и ВН₁ — высоты. Докажите, что ∆ВНС = ∆B1H1C1.

Доказательство:

По условию \( \Delta ABC = \Delta A_1B_1C_1 \) как равные прямоугольные треугольники.

Из равенства треугольников следует:

\( \angle C = \angle C_1 \)

\( BC = B_1C_1 \)

\( AB = A_1B_1 \)

\( BH \) и \( B_1H_1 \) — высоты, проведённые из вершины прямого угла. Следовательно, \( \angle BHC = 90^{\circ} \) и \( \angle B_1H_1C_1 = 90^{\circ} \).

Рассмотрим треугольник \( \Delta BHC \). У него \( \angle BHC = 90^{\circ} \). Угол \( \angle C \) общий с \( \Delta ABC \).

Рассмотрим треугольник \( \Delta B_1H_1C_1 \). У него \( \angle B_1H_1C_1 = 90^{\circ} \). Угол \( \angle C_1 \) общий с \( \Delta A_1B_1C_1 \).

По условию \( \angle C = \angle C_1 \).

Теперь рассмотрим треугольники \( \Delta BHC \) и \( \Delta B_1H_1C_1 \).

У них равны:

1. \( \angle C = \angle C_1 \) (по условию равенства \( \Delta ABC \) и \( \Delta A_1B_1C_1 \))
2. \( \angle BHC = \angle B_1H_1C_1 = 90^{\circ} \) (по построению высоты)

Два треугольника равны по двум углам. Следовательно, \( \Delta BHC = \Delta B_1H_1C_1 \) по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим углам, если бы мы знали, что \( BC = B_1C_1 \) — это гипотенуза, что верно, то это было бы по гипотенузе и острому углу).

Что и требовалось доказать.