3. На сторонах угла А отмечены точки В и С так, что АВ = АС. Через точки В и С проведены прямые, перпендикулярные соответственно к сторонам АВ и АС данного угла и пересекающиеся в точке М. Докажите, что MB = MC.

Доказательство:

Рассмотрим треугольники \( \Delta ABM \) и \( \Delta ACM \).

По условию \( AB = AC \).

По построению \( BM \perp AB \) и \( CM \perp AC \), следовательно, \( \angle ABM = 90^{\circ} \) и \( \angle ACM = 90^{\circ} \).

\( AM \) — общая сторона для обоих треугольников.

Таким образом, у нас есть два прямоугольных треугольника, у которых равны гипотенуза ( \( AM \) ) и один из катетов ( \( AB = AC \) ).

По признаку равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету, \( \Delta ABM = \Delta ACM \).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон:

\( MB = MC \).

Что и требовалось доказать.