3. Даны три вершины треугольника $A(-1; 0)$, $B(3; 2)$, $C(5; -4)$. Найти $\angle ABC$ (угол при вершине B).

Question

Вопрос: $Фото задания: 3. Даны три вершины треугольника $A(-1; 0)$, $B(3; 2)$, $C(5; -4)$. Найти $\angle ABC$ (угол при вершине B).$ Фото задания

Accepted Answer

Угол при вершине B образован векторами $\overrightarrow{BA}$ и $\overrightarrow{BC}$.

$\overrightarrow{BA}=(-1-3;\,0-2)=(-4;-2)$, $\overrightarrow{BC}=(5-3;\,-4-2)=(2;-6)$.

Их скалярное произведение: $(-4)\cdot2+(-2)\cdot(-6)=4$. Длины векторов: $|\overrightarrow{BA}|=\sqrt{20}$, $|\overrightarrow{BC}|=\sqrt{40}$.

По формуле скалярного произведения $\cos\angle ABC=\frac{4}{\sqrt{20}\sqrt{40}}=\frac{\sqrt2}{10}$.

Ответ: $\angle ABC=\arccos\frac{\sqrt2}{10}\approx81.9^\circ$.

3. Даны три вершины треугольника \(A(-1; 0)\), \(B(3; 2)\), \(C(5; -4)\). Найти \(\angle ABC\) (угол при вершине B).