5. ABCD и A₁B₁C₁D₁ — параллелограммы, M, P, F, H — середины соответственно отрезков AA₁, BB₁, CC₁, DD₁. Докажите, что точки M, P, F, H являются вершинами параллелограмма или лежат на одной прямой.

Обозначим радиус-векторы точек соответствующими строчными буквами. Для параллелограмма сумма радиус-векторов противоположных вершин одинакова, поэтому \(\vec a+\vec c=\vec b+\vec d\) и \(\vec a_1+\vec c_1=\vec b_1+\vec d_1\).

По формуле радиус-вектора середины отрезка:

\(\vec m+\vec f=\frac{\vec a+\vec a_1}{2}+\frac{\vec c+\vec c_1}{2}=\frac{\vec a+\vec c+\vec a_1+\vec c_1}{2}\).

Аналогично, \(\vec p+\vec h=\frac{\vec b+\vec b_1+\vec d+\vec d_1}{2}\). Из равенств для исходных параллелограммов следует, что \(\vec m+\vec f=\vec p+\vec h\).

Значит, диагонали MF и PH имеют общий середину. Если точки не лежат на одной прямой, четырёхугольник MPFH является параллелограммом; если вырожден, все четыре точки лежат на одной прямой.