4. В треугольнике MNK NP — биссектриса, MN = 2, MN = NK, угол N равен 60°. Вычислить скалярные произведения векторов: (MK, MK), (NP, NK), (KM, MK).

Так как \(MN=NK=2\) и угол между ними равен \(60^\circ\), треугольник MNK равносторонний. Следовательно, \(MK=2\), а биссектриса NP является также медианой.

1. \((\overrightarrow{MK},\overrightarrow{MK})=|\overrightarrow{MK}|^2=2^2=4\).

2. Так как \(P\) — середина \(MK\), то \(\overrightarrow{NP}=\frac12(\overrightarrow{NM}+\overrightarrow{NK})\). Поэтому \((\overrightarrow{NP},\overrightarrow{NK})=\frac12\big((\overrightarrow{NM},\overrightarrow{NK})+|\overrightarrow{NK}|^2\big)=\frac12(2\cdot2\cdot\cos60^\circ+4)=3\).

3. \(\overrightarrow{KM}=-\overrightarrow{MK}\), поэтому \((\overrightarrow{KM},\overrightarrow{MK})=-|\overrightarrow{MK}|^2=-4\).

Ответ: 4; 3; −4.