3. Даны векторы $\vec{m}$(2; -1; 3) и $\vec{n}$(-1; 2; 5). Найдите:

Question

Вопрос: $Фото задания: 3. Даны векторы $\vec{m}$(2; -1; 3) и $\vec{n}$(-1; 2; 5). Найдите:$ Фото задания

Accepted Answer

Чтобы найти координаты вектора $\vec{d}$, нужно:

$-2\vec{m} = (-2 \times 2; -2 \times -1; -2 \times 3) = (-4; 2; -6)$

$3\vec{n} = (3 \times -1; 3 \times 2; 3 \times 5) = (-3; 6; 15)$

$\vec{d} = -2\vec{m} + 3\vec{n} = (-4 + (-3); 2 + 6; -6 + 15) = (-7; 8; 9)$

Ответ: Координаты вектора $\vec{d}$ равны (-7; 8; 9).

Косинус угла между двумя векторами находится по формуле:

$\cos(\alpha) = \frac{\vec{m} \cdot \vec{n}}{|\vec{m}| \cdot |\vec{n}|}$

Сначала найдем скалярное произведение $\vec{m} \cdot \vec{n}$:

$\vec{m} \cdot \vec{n} = (2 \times -1) + (-1 \times 2) + (3 \times 5) = -2 - 2 + 15 = 11$

Теперь найдем модули векторов $\vec{m}$ и $\vec{n}$:

$|\vec{m}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 1 + 9} = \sqrt{14}$

$|\vec{n}| = \sqrt{(-1)^2 + 2^2 + 5^2} = \sqrt{1 + 4 + 25} = \sqrt{30}$

Подставим значения в формулу косинуса угла:

$\cos(\alpha) = \frac{11}{\sqrt{14} \cdot \sqrt{30}} = \frac{11}{\sqrt{14 \times 30}} = \frac{11}{\sqrt{420}}$

$\sqrt{420} = \sqrt{4 \times 105} = 2\sqrt{105}$

$\cos(\alpha) = \frac{11}{2\sqrt{105}}$

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{105}$:

$\cos(\alpha) = \frac{11 \sqrt{105}}{2 \times 105} = \frac{11 \sqrt{105}}{210}$

Ответ: Косинус угла между векторами $\vec{m}$ и $\vec{n}$ равен $\frac{11}{2\sqrt{105}}$ или $\frac{11 \sqrt{105}}{210}$.

3. Даны векторы \(\vec{m}\)(2; -1; 3) и \(\vec{n}\)(-1; 2; 5). Найдите: