Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика
Ответ:
1) Выразите вектор \(\vec{BE}\) через векторы \(\vec{BA}\), \(\vec{BC}\) и \(\vec{BB_1}\).
Введем базисные векторы: \(\vec{BA} = a\), \(\vec{BC} = b\), \(\vec{BB_1} = c\).
Нам нужно найти вектор \(\vec{BE}\).
Сначала найдем вектор \(\vec{AD_1}\). В кубе \(\vec{AD_1} = \vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AA_1}\).
Учитывая, что \(\vec{AB} = -\vec{BA} = -a\), \(\vec{AD} = \vec{BC} = b\), \(\vec{AA_1} = \vec{BB_1} = c\), получим:
\(\vec{AD_1} = -a + b + c\)
Точка E делит диагональ AD₁ в отношении AE : ED₁ = 2 : 7. Это значит, что вектор \(\vec{AE}\) составляет \(\frac{2}{2+7} = \frac{2}{9}\) от вектора \(\vec{AD_1}\).
\(\vec{AE} = \frac{2}{9} \vec{AD_1} = \frac{2}{9} (-a + b + c)\)
Теперь найдем вектор \(\vec{BE}\). Используем правило сложения векторов: \(\vec{BE} = \vec{BA} + \vec{AE}\).
\(\vec{BE} = a + \frac{2}{9} (-a + b + c)\)
\(\vec{BE} = a - \frac{2}{9} a + \frac{2}{9} b + \frac{2}{9} c\)
\(\vec{BE} = (1 - \frac{2}{9}) a + \frac{2}{9} b + \frac{2}{9} c\)
\(\vec{BE} = \frac{7}{9} a + \frac{2}{9} b + \frac{2}{9} c\)
Ответ: \(\vec{BE} = \frac{7}{9}\vec{BA} + \frac{2}{9}\vec{BC} + \frac{2}{9}\vec{BB_1}\).
2) Найдите модуль вектора \(\vec{BE}\).
Ребро куба равно 1 см. Значит, модули базисных векторов равны:
\(|a| = |b| = |c| = 1\)
Так как векторы \(\vec{BA}\), \(\vec{BC}\) и \(\vec{BB_1}\) являются ребрами куба, они попарно перпендикулярны. Это означает, что их скалярные произведения равны нулю: \(a \cdot b = a \cdot c = b \cdot c = 0\).
Найдем квадрат модуля вектора \(\vec{BE}\) по формуле:
\( |be|^2 = (be) \cdot (be) \)
\( |be|^2 = (\frac{7}{9} a + \frac{2}{9} b + \frac{2}{9} c) \cdot (\frac{7}{9} a + \frac{2}{9} b + \frac{2}{9} c) \)
Раскроем скобки, учитывая, что скалярные произведения перпендикулярных векторов равны нулю, а скалярное произведение вектора на самого себя равно квадрату его модуля:
\( |be|^2 = (\frac{7}{9})^2 |a|^2 + (\frac{2}{9})^2 |b|^2 + (\frac{2}{9})^2 |c|^2 \)
\( |be|^2 = \frac{49}{81} a^2 + \frac{4}{81} b^2 + \frac{4}{81} c^2 \)
Так как \(|a| = |b| = |c| = 1\), то \(a^2 = b^2 = c^2 = 1^2 = 1\).
\( |be|^2 = \frac{49}{81} × 1 + \frac{4}{81} × 1 + \frac{4}{81} × 1 \)
\( |be|^2 = \frac{49 + 4 + 4}{81} = \frac{57}{81} \)
Упростим дробь, разделив числитель и знаменатель на 3:
\( |be|^2 = \frac{19}{27} \)
Теперь найдем модуль вектора \(\vec{BE}\), взяв квадратный корень:
\( |be| = \sqrt{\frac{19}{27}} = \frac{\sqrt{19}}{\sqrt{27}} = \frac{\sqrt{19}}{\sqrt{9 \times 3}} = \frac{\sqrt{19}}{3\sqrt{3}} \)
Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на \(\sqrt{3}\):
\( |be| = \frac{\sqrt{19} \times \sqrt{3}}{3\sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{57}}{3 \times 3} = \frac{\sqrt{57}}{9} \)
Ответ: Модуль вектора \(\vec{BE}\) равен \(\frac{\sqrt{57}}{9}\) см.
