5. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку B и перпендикулярной прямой BC, если B (3; -2; 4), C (-2; 8; 19).

Плоскость, перпендикулярная прямой, имеет нормальный вектор, который коллинеарен направляющему вектору этой прямой.

Направляющим вектором прямой BC является вектор \(\vec{BC}\).

Найдем координаты вектора \(\vec{BC}\):

\(\vec{BC} = (x_C - x_B; y_C - y_B; z_C - z_B)\)

\(\vec{BC} = (-2 - 3; 8 - (-2); 19 - 4)\)

\(\vec{BC} = (-5; 10; 15)\)

Нормальным вектором плоскости \(\vec{n}\) будет вектор \(\vec{BC}\), то есть \(\vec{n} = (-5; 10; 15)\).

Для упрощения можно взять коллинеарный вектор, разделив координаты на 5:

\(\vec{n}' = (-1; 2; 3)\)

Уравнение плоскости имеет вид:

A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0

где (A, B, C) — координаты нормального вектора, а (x_0, y_0, z_0) — координаты точки, через которую проходит плоскость.

Подставим координаты точки B (3; -2; 4) и нормального вектора \(\vec{n}' = (-1; 2; 3)\):

-1(x - 3) + 2(y - (-2)) + 3(z - 4) = 0

-1(x - 3) + 2(y + 2) + 3(z - 4) = 0

-x + 3 + 2y + 4 + 3z - 12 = 0

-x + 2y + 3z - 5 = 0

Умножим уравнение на -1, чтобы коэффициент при x был положительным:

x - 2y - 3z + 5 = 0

Ответ: Уравнение плоскости: x - 2y - 3z + 5 = 0.