Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика
Ответ:
Решение:
Пусть стороны прямоугольника равны \( a \) и \( b \), а диагональ равна \( d \).
По условию задачи:
- \( d = a + 8 \)
- \( d = b + 4 \)
Отсюда выразим стороны через диагональ:
- \( a = d - 8 \)
- \( b = d - 4 \)
По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного сторонами и диагональю, имеем:
\( a^2 + b^2 = d^2 \)
Подставим выражения для \( a \) и \( b \) через \( d \):
\( (d - 8)^2 + (d - 4)^2 = d^2 \)
Раскроем скобки:
\( (d^2 - 16d + 64) + (d^2 - 8d + 16) = d^2 \)
Приведём подобные слагаемые:
\( 2d^2 - 24d + 80 = d^2 \)
Перенесём всё в левую часть:
\( 2d^2 - d^2 - 24d + 80 = 0 \)
\( d^2 - 24d + 80 = 0 \)
Решим это квадратное уравнение относительно \( d \).
Найдем дискриминант: \( D = (-24)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 80 = 576 - 320 = 256 \).
\( \sqrt{D} = \sqrt{256} = 16 \).
Найдем корни:
\( d_1 = \frac{24 + 16}{2} = \frac{40}{2} = 20 \)
\( d_2 = \frac{24 - 16}{2} = \frac{8}{2} = 4 \)
Если \( d = 4 \), то \( a = 4 - 8 = -4 \), что невозможно для стороны прямоугольника. Значит, \( d = 20 \) см.
Теперь найдём стороны:
\( a = d - 8 = 20 - 8 = 12 \) см.
\( b = d - 4 = 20 - 4 = 16 \) см.
Проверим: \( 12^2 + 16^2 = 144 + 256 = 400 \), \( d^2 = 20^2 = 400 \). Условие выполняется.
Ответ: стороны прямоугольника равны 12 см и 16 см
