3. Диагональ прямоугольника на 8 см больше одной из его сторон и на 4 см больше другой. Найдите стороны прямоугольника.

Решение задачи о прямоугольнике:

Пусть стороны прямоугольника равны \( a \) и \( b \), а диагональ \( d \). Тогда, по условию:

• \( d = a + 8 \)
• \( d = b + 4 \)

Из этих равенств следует, что \( a = d - 8 \) и \( b = d - 4 \).

Согласно теореме Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного сторонами и диагональю: \( a^{2} + b^{2} = d^{2} \).

Подставляем выражения для \( a \) и \( b \) через \( d \):

\( (d - 8)^{2} + (d - 4)^{2} = d^{2} \)

Раскрываем скобки:

\( d^{2} - 16d + 64 + d^{2} - 8d + 16 = d^{2} \)

Приводим подобные члены:

\( 2d^{2} - 24d + 80 = d^{2} \)

Переносим все в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

\( d^{2} - 24d + 80 = 0 \)

Найдем дискриминант \( D \):

\( D = (-24)^{2} - 4(1)(80) = 576 - 320 = 256 \)

\( \sqrt{D} = \sqrt{256} = 16 \)

Найдем возможные значения \( d \):

\( d_1 = (24 + 16) / 2 = 40 / 2 = 20 \) см

\( d_2 = (24 - 16) / 2 = 8 / 2 = 4 \) см

Так как диагональ должна быть больше обеих сторон, \( d=4 \) см не подходит (стороны были бы отрицательными). Следовательно, \( d = 20 \) см.

Теперь найдем стороны \( a \) и \( b \):

\( a = d - 8 = 20 - 8 = 12 \) см

\( b = d - 4 = 20 - 4 = 16 \) см

Ответ: Стороны прямоугольника равны 12 см и 16 см.