4. Число -3 является корнем уравнения 2x² + 7x + c = 0. Найдите значение с и второй корень уравнения.

Решение:

По условию, \( x = -3 \) является корнем уравнения \( 2x^2 + 7x + c = 0 \). Подставим это значение в уравнение, чтобы найти \( c \):

\( 2(-3)^2 + 7(-3) + c = 0 \)

\( 2(9) - 21 + c = 0 \)

\( 18 - 21 + c = 0 \)

\( -3 + c = 0 \)

\( c = 3 \)

Теперь уравнение имеет вид: \( 2x^2 + 7x + 3 = 0 \).

Мы знаем один корень \( x_1 = -3 \). Найдем второй корень \( x_2 \).

Воспользуемся теоремой Виета для квадратного уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \):

Сумма корней: \( x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \)

Произведение корней: \( x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} \)

Используем формулу суммы корней:

\( -3 + x_2 = -\frac{7}{2} \)

\( x_2 = -\frac{7}{2} + 3 \)

\( x_2 = -\frac{7}{2} + \frac{6}{2} \)

\( x_2 = -\frac{1}{2} \)

\( x_2 = -0.5 \)

Проверим с помощью произведения корней:

\( x_1 \cdot x_2 = (-3) \cdot (-\frac{1}{2}) = \frac{3}{2} \).

По формуле \( \frac{c}{a} = \frac{3}{2} \).

Результаты совпадают.

Ответ: \( c = 3 \), второй корень \( x_2 = -0.5 \)