4. Число -3 является корнем уравнения 2x² + 7x + c = 0. Найдите значение с и второй корень уравнения.

Нахождение значения c и второго корня:

Если \( x = -3 \) является корнем уравнения \( 2x^{2} + 7x + c = 0 \), то при подстановке \( x = -3 \) уравнение обращается в верное равенство.

Подставляем \( x = -3 \):

\( 2(-3)^{2} + 7(-3) + c = 0 \)

\( 2(9) - 21 + c = 0 \)

\( 18 - 21 + c = 0 \)

\( -3 + c = 0 \)

\( c = 3 \)

Теперь уравнение имеет вид: \( 2x^{2} + 7x + 3 = 0 \).

Найдем корни этого уравнения. Можно использовать теорему Виета или дискриминант.

Метод 1: Теорема Виета

Пусть \( x_1 = -3 \) и \( x_2 \) — второй корень. Для приведенного уравнения \( x^{2} + \frac{7}{2}x + \frac{3}{2} = 0 \):

\( x_1 + x_2 = -\frac{7}{2} \) => \( -3 + x_2 = -\frac{7}{2} \) => \( x_2 = -\frac{7}{2} + 3 = -\frac{7}{2} + \frac{6}{2} = -\frac{1}{2} \)

\( x_1 \cdot x_2 = \frac{3}{2} \) => \( -3 \cdot x_2 = \frac{3}{2} \) => \( x_2 = \frac{3}{2} : (-3) = \frac{3}{2} \cdot (-\frac{1}{3}) = -\frac{1}{2} \)

Метод 2: Дискриминант

\( D = b^{2} - 4ac = 7^{2} - 4(2)(3) = 49 - 24 = 25 \)

\( \sqrt{D} = 5 \)

\( x_1 = (-7 + 5) / (2 \cdot 2) = -2 / 4 = -1/2 \)

\( x_2 = (-7 - 5) / (2 \cdot 2) = -12 / 4 = -3 \)

Мы уже знаем, что один из корней \( -3 \), значит, второй корень \( -1/2 \).

Ответ: Значение c равно 3, второй корень уравнения равен -1/2.