3. Длины сторон треугольника ABC соответственно равны: BC = 15 см, AB = 13 см, AC = 4 см. Через сторону AC проведена плоскость α, составляющая с плоскостью данного треугольника угол 30°. Найдите расстояние от вершины B до плоскости α.

Пусть H — основание перпендикуляра из B на AC. Так как плоскости пересекаются по прямой AC, расстояние от B до плоскости α равно BH · sin 30°.

Найдём площадь треугольника по формуле Герона: полупериметр равен \(s=(15+13+4)/2=16\) см, поэтому \(S=\sqrt{16\cdot1\cdot3\cdot12}=24\) см².

Из \(S=AC\cdot BH/2\) получаем \(BH=2\cdot24/4=12\) см.

Тогда расстояние до α равно \(12\sin30^\circ=12\cdot0.5=6\) см.

Ответ: 6 см.